七年级数学实际问题与一元一次方程之方案类问题
写在前面
方案问题属于七年级阶段考查能力的一类实际应用问题,需要学生不只是对一些专有名词比较熟悉,还需要有分类讨论的意识和能够根据实际情况对自己的解答进行检查,能够根据实际意义去判断答案的正确与否。这类题目通常具有一定的难度,是学生之间拉开档次的一类题目。
一、典例引路把握关键
1、为发展校园足球运动,某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备,市场调查发现:甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球,已知每套队服比每个足球多50元,两套队服与三个足球的费用相等,经洽谈,甲商场优惠方案是:每购买十套队服,送一个足球;乙商场优惠方案是:若购买队服超过80套,则购买足球打八折.
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少?
(2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球,假如你是本次购买任务的负责人,你认为到哪家商场购买比较合算?
【分析】(1)设每个足球的定价是x元,则每套队服是(x+50)元,根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程,解方程即可;
(2)根据甲、乙两商场的优惠方案先表示出两个商场的费用(含a的代数式);
(3)先求出到两家商场购买一样合算时足球的个数,再根据题意即可求解.
【解答】
解:(1)设每个足球的定价是x元,则每套队服是(x+50)元,根据题意得
2(x+50)=3x,解得x=100,x+50=150.
答:每套队服150元,每个足球100元;
(2)到甲商场购买所花的费用为:
150×100+100(a﹣)=100a+14000(元),
到乙商场购买所花的为:
150×100+0.8×100•a=80a+15000(元);
当在两家商场购买一样合算时,100a+14000=80a+15000,
解得a=50.
所以购买的足球数等于50个时,则在两家商场购买一样合算;
购买的足球数多于50个时,则到乙商场购买合算;
购买的足球数少于50个时,则到甲商场购买合算
【点评】本题考查了一元一次方程的应用解题关键是
(1)要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,列好代数式,找出合适的等量关系列出方程,再求解;
(2)选择如何购买时要能够准确列出代数式,分别表示出两个商场的花费,还要学会如何进行推断。
2、某开发公司要生产若干件新产品,需要精加工后,才能投放市场,现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品,已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天,红星厂每天可加工16件产品,巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元,巨星厂每天加工费120元.
(1)这个公司要加工多少件新产品?
(2)在加工过程中,公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导,并负担每天5元的午餐补助费,公司制定产品加工方案如下:可由一个厂单独加工完成,也可由两厂合作同时完成,请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种即省钱,又省时间的加工方案.
【分析】
(1)设这个公司要加工x件新产品,则红星厂单独加工这批产品需天,巨星厂单独加工这批产品需要天,根据题意找出等量关系:红星厂单独加工这批产品需要的天数﹣巨星厂单独加工这批产品需要的天数=20,根据此等量关系列出方程求解即可.
(2)应分为三种情况讨论:①由红星厂单独加工;②由巨星厂单独加工;③由两场厂共同加工,分别比较三种情况下,所耗时间和花费金额,求出既省钱,又省时间的加工方案.
说明:请将解题过程的空填好!
【解答】
解:(1)设这个公司要加工x件新产品,由题意得: ﹣ =20,
解得:x=960(件),
答:这个公司要加工960件新产品.
(2)①由红星厂单独加工:需要耗时为 =60天,需要费用为:60×(5+80)=5100元;
②由巨星厂单独加工:需要耗时为 =40天,需要费用为:40×(120+5)=5000元;
③由两场厂共同加工:需要耗时为 =24天,需要费用为:24×(80+120+5)=4920元.
所以,由两厂合作同时完成时,既省钱,又省时间.
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用,关键在于理解清楚题意,找出等量关系列出方程.对于要求最符合要求类型的题目,应将所有方案,列出来求出符合题意的那一个即可.
二、巩固训练有效提升
1、某牛奶厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利润500元;若制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;若制成奶片销售,每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是,如果制成酸奶,每天可加工3吨;制成奶片,每天可加工1吨,受人员限制,两种加工方式不可同时进行;受气温限制这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此该厂设计了三种方案:
方案一:将鲜奶全部制成酸奶销售;
方案二:尽可能地制成奶片,其余的直接销售鲜奶;
方案三:将一部分制成奶片,其余的制成酸奶销售,并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利最多?
2、邻居张叔叔星期天准备做两件事:一是到邮局拿某杂志社寄给自己的论文稿费,二是买礼物送爸妈和女友.
(1)邻居张叔叔先到邮局拿论文稿费.国家规定稿费超过一定数额需缴纳所得税,有关规定如下表:
稿费数额 | 纳税方法 |
稿费不高于800元 | 不纳税 |
稿费高于800元但不高于4000元 | 应缴纳超过800元的那一部分的14% |
稿费高于4000元 | 应缴纳全部稿费的11% |
张叔叔从邮局拿到税后稿费为3380元,问该杂志社给张叔叔的税前论文稿费为多少元?
(2)邻居张叔叔拿到稿费后到商店准备为爸妈买四盒“补雪”牌补品,同时为女友买三瓶相同的“露”牌化妆品.张叔叔对比了甲、乙两家商店这两种商品的标价,发现“补雪”牌补品都是每盒300元,“露”牌化妆品都是每瓶200元.现在两家商店正在搞促销活动,促销办法如下表:
商店 | 促销办法 |
甲 | 全部按标价的九折出售 |
乙 | 不打折,但买四盒“补雪”牌补品可以送一瓶“露”牌化妆品 |
请你帮助邻居张叔叔出个主意,要在这两个店买,应怎样买最省钱?共需多少钱?并写出购买方案.
3、延庆区某中学七年级(1)(2)两个班共104人,要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动,老师指派小明到网上查阅票价信息,小明查得票价如图:
其中(1)班不足50人,经估算,如果两个班都以班为单位购票,一共应付1240元.
(1)两个班各有多少学生?
(2)如果两个班联合起来,作为一个团体购票,可以省多少钱?
(3)如果七年级(1)班单独组织去博物馆参观,你认为如何购票最省钱?
老么的话:
解决这类问题要做到以下几点:
1、读懂题目,弄清楚题目的意思,选好未知数,列出有关的代数式;
2、把握好等量关系,列方程求解;
3、理清情况,做好分类,进行讨论;
4、把握实际意义,检验结果的正确性。
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